He visto en muchos casos la palabra chiíta con acento sobre la i. El DRA acentúa chií y chiita no. ¿Qué regla se aplica en este caso? 

Dos vocales iguales nunca forman diptondo. Por lo tanto la palabra chií es bisílaba, aguda y terminada en vocal, por lo que llevará acento en la última sílaba.

La palabra chiita es trisílaba y llana acabada en vocal, por lo que no lleva acento.

«La palabra chiita o diminutivos como diita, tiitos, Rociito no llevan tilde por ser palabras llanas terminadas en vocal o en s. La palabra chií se escribe con tilde por ser aguda terminada en volcal, y día, tío, Rocío por contener hiatos de vocal cerrada tónica y abierta átona.» [RAE: Ortografía básica de la lengua española. Madrid, 2010, p. 44]