Me gustaría que me diera su opinión sobre el tipo de  complemento que es "por diez millones de euros" en la frase "El Barcelona se lo quitó al Madrid por diez millones de euros". No me parece de causa ni de  cantidad, así que no sé qué función asignarle. 

Sería un complemento circunstancial intrumental. Algunos autores alemanes tratan el complemento circunstancial como un subgrupo del modal. El complemento instrumental indica el instrumento por medio del cual el sujeto realiza una acción. El instrumento bien puede ser un objeto físico o bien un concepto abstracto. El complemento circunstancial responde a la pregunta ¿con qué?, ¿por qué medio?.

El complemento circunstancial ha sido en la gramática tradicional el “cajón de sastre” donde se incluía a los complementos más diversos. La clasificación tradicional de los complementos circunstanciales está basada en un criterio semántico, por lo que no puede ser precisa. Es por lo que algunos complementos circunstanciales no se acomodan a ninguno de los grupos tradicionales.

Alarcos utiliza el término aditamento como equivalente de lo que tradicionalmente se viene llamando complemento circunstancial o circunstante, y considera como aditamentos los segmentos de una oración cuya presencia o ausencia no afecta a la estructura esencial de aquélla y que además gozan de cierta mivilidad dentro de la oración. Se trata de elementos relativamente marginales.

Hay que distinguir el complemento circunstancial del complemento regido por el verbo:

Los niños juegan en el patio.

[complemento circunstancial locativo, (en la terminología de Alarcos: aditamento]

Los niños se encuentran en el patio.

[suplemento o complemento de régimen verbal]

El complemento circunstancial puede estar representado o conmutar por un adverbio:

Vive en Madrid (= allí).

También se debe distinguir el complemento circunstancial del complemento o modificador oracional, elemento extraperiférico de la oración que no actúa como complemento del verbo sino que afecta a toda la oración, situándose al magen de ella:

Por suerte, encontramos un hotel en las cercanías de la ciudad.

Tipos de complementos circunstanciales

«Pensamos que no es posible establecer clases o paradigmas de complementos circunstanciales tomando como única base su engarce en la estructura oracional. La única posibilidad de clasificación de que disponemos en este sentido es la utilizada tradicionalmente, esto es, la basada en la pura relación semántica establecida entre el complemento y el elemento a que se refiere o subordina. De aquí surgen, precisamente, los denominados complementos temporales, locativos, modales, causales, finales, instrumentales, comitativos, etc., cuya enumeración exhaustiva resulta, por cierto, problemática, dándose no infrecuentemente el caso de que para muchos complementos circunstanciales propiamente dichos sea difícil encontrar en la terminología al uso una denominación adecuada.

Hay muchos complementos circunstanciales que no responden a las clásicas preguntas ¿cúando?, ¿dónde?, ¿cómo?, ¿por qué?, ¿para qué?, ¿con qué medios?, todas ellas subyacentes en los complementos circunstanciales contemplados tradicionalmente en las gramáticas escolares. Todo esto quiere decir que a los clásicos complementos temporales, locativos, modales, instrumentales, etc., debemos añadir otros, tales como los cuantitativos, de tema o materia tratada, de campo o aspecto, de sustitución o delegación, de adición y supresión, y concesivos.»

[Porto Dapena, J. A.: El complemento circunstancial. Madrid: Arco / Libros, 1993, p. 20]

Complementos de lugar:

Corresponden a la pregunta ¿dónde? y son conmutables por un adverbio de lugar.

Complementos temporales:

Responden a la pregunta ¿cuándo?, ¿cuánto tiempo?, ¿desde cuándo?, ¿hasta cuándo?, ¿en cuántas ocasiones?, ¿cuánto tiempo hace?

Complementos modales:

Responden a la pregunta ¿cómo?, ¿de qué forma?, ¿de qué manera?

Los siguientes complementos circunstanciales tienen una primera característica común y es que no pueden venir representados por adverbios, sino tan sólo por sintagmas preposicionales o, excepto el complemento de compañía, por una oración o proposición subordinada. Parecen jerárquicamente inferiores a los modales pues pueden aparecer tematizados en principio de oración:

Cortó el jamón a trozos con un cuchillo.

Con un cuchillo, cortó el jamón a trozos.

*A trozos, cortó con un cuchillo el jamón.

Complementos de finalidad:

Viene introducido por la preposición para, a o por seguida de un sustantivo o de una expresión sustantivada: Mandó al niño por tabaco.

Complementos de causa:

Se expresa mediante la preposición por, con, a veces con la preposición de. Con la preposición de suele tratarse de un complemento regido, es decir, de un suplemento. También se pueden usar locuciones como a causa de, debido a, gracias a, por culpa de. Si el complemento es una oración, va introducida por la conjunción porque.

Dado que en la construcción pasiva el agente también va expresado mediante las preposiciones por y de, se podría confundir con el complemento de causa. Pero en el caso de la pasiva, el agente es animado o, de ser inanimado, tiene la capacidad de llevar a cabo la acción del verbo y puede actuar como sujeto en la construcción activa.

Complementos instrumental:

«Por lo que se refiere al complemento instrumental, incluimos en él no sólolos que indican instrumento propiamente dicho, esto es, el utensilio empleado para realizar la acción expresada por el verbo, sino también el medio adoptado, intermediario, materia utilizada en la misma, etcétera. Así

Cortó la cinta con unas tijeras.

Escribió la conferencia a máquina.

Fuimos en tren a Zaragoza.

Le envié la carta por avión.

Hablamos a veces por teléfono.

Les llenó los bolsillos de caramelos.

Improvisó una tienda con unos plásticos.

Me di cuenta por mí mismo de la situación.

En un mismo contexto pueden ser compatibles dos complementos instrumentales cuando uno indica, por ejemplo, el utensilio o el medio y otro la materia.

Con una jarra nos llenó el vaso de agua.

Notemos, por cierto, que en este contexto de agua es un suplemento.

Las preposiciones encargadas de introducir los complementos instrumentales son, sobre todo, con, por y mediante, o las locuciones por medio de, a través de, con el auxilio de u otra equivalente. Hay que observar, por otro lado, que también en este caso se pueden producir confusiones, en la construcción pasiva, con el complemento agente:

En la guerra fue herido por una granada,

Quedaron enterrados por la arena,

Estamos obligados por la ley,

cuyos complementos con por, que semánticamene representan sin duda un medio o instrumento (lo que demuestra, además, formalmente, puesto que la preposición admite conmutación por con o mediante), pueden, sin embargo, pasar a sujetos de las correspondientes construcciones activas:

En la guerra hirió una granada.

La arena los enterró.

La ley nos obliga.

Pese a ello, creemos en estos casos preferible su interpretación como complementos instrumentales. Como un caso especial de complemento instrumental podría considerarse el representado por el sintagma preposicional con por en contextos matemáticos del tipo

La población se ha multiplicado por diez.

Esa cantidad hay que dividirla por tres.»

[Porto Dapena, J. A.: El complemento circunstancial. Madrid: Arco / Libros, 1993, p. 43 sgis.]

Complemento de compañía o conmitativo:

Expresa la asociación o unión al sujeto o al complemento directo de otro u otros individuos. Viene introducido por la preposición con o locuciones como en compañía de o juntamente a o con, al lado de.

Vino su mujer con sus hijos a visitarle.

Complemento cuantitativo:

Esta función la desempeñan los adverbios de cantidad o expresiones equivalentes cuando complementan a un verbo o sintagma verbal:

Quiere mucho a sus padres.

Llueve de lo lindo.

Responde a preguntas como ¿cuánto?, ¿hasta qué punto?, ¿hasta qué grado?, ¿en qué medida?, etc., y puede ser de tres tipos: gradativo, de medida y de precio.

Complemento distributivo:

Sirve para repartir entre una serie de individuos otra subserie: Tocamos a mil euros por barba. Va introducido por la preposición por. Estos complementos pueden contener contenidos propios de otros circunstanciales, como los modales, temporales o espaciales. Se suele construir sin preposición cuando el complemento lleva el distributivo cada.

Complemento de inclinación y oposición:

Expresa el objeto con el que se establece una relaciónd e facor, ayuda o disposición favorable, próxima a la benefactiva del dativo, o de disposición desfarovable. Va introducido por la prespoción por, a favor de, en o a beneficio de, en auxilio de, cuando se trata de disposición favorable. En caso de disposición desfavorable va introducido por contra, en contra, en contra de, frente a, enfrente de, en contraposición con, etc.

Complemento de sustitución o delegación y equivalencia:

Expresa la persona o cosa que debería ocupar el puesto o lugar de algún otro componente de la oración. Se expresa mediante la preposición por o locuciones como en vez de, en lugar de, lejos de, etc.: Comió paella en lugar de carne.

Complemento de campo o aspecto:

Circunscribe lo dicho en la oración a un determinado campo o aspecto de la realidad. Se aproxima al complemento locativo pero no indica lugar: Se doctoró en Filosofía.

Complemento de tema o materia tratada:

Se construye mediante las preposiciones de o sobre, o locuciones como acerca de, en torno a, respecto a, en relación con, etc. Indica el tema, asunto o materia a que se enfoca la acción del verbo: De esto hablaremos más adelante.

Complemento de adición, exclusión y concesión:

Estos complementos expresan suma, resta o concesión. La adición se expresa mediante la locución además de: Además de trabajar de camarero durante el día canta por las noches en un local. La exclusión, mediante menos, salvo, fuera, excepto, a excepción de, a no ser, etc.: Llegaron todos menos Maribel. El carácter concesivo se expresa mediante complementos introducidos por a pesar de, pese a o partículas como aun o con: Pese al mal tiempo, salimos de paseo.