Tengo una duda que quería comentar con usted. Son estos ejemplos:

¡Qué te vaya bien! (con acento en qué)

¡Que te vaya bien! (sin acento)

¡Qué tengan un excelente día! (el qué con acento)

¿Por qué se hacen estos cambios de acento?

No hay tales cambios de acentos, algunos de los ejemplos que cita no están escritos correctamente. Si los ha sacado de Internet, tenga en cuenta que la red está llena de incorrecciones ortográficas y que no es una fuente fiable. La escritura correcta es como sigue:

Que te vaya bien.

[que es aquí una conjunción; la frase equivale a Deseo que te vaya bien]

Que tengas un excelente día.

[que es aquí una conjunción; la frase equivale a Deseo que tengas un excelente día]

¡Qué día he tenido hoy!

[aquí qué introduce una oración exclamativa]

¡Qué bien me ha ido hoy!

[aquí qué introduce una oración exclamativa]

Las palabras qué, cuál / cuáles, quién / quiénes, cómo, cuán, cuánto / -a / -os / -as, cuándo, dónde y adónde son siempre tónicas y se escriben con tilde cuando forman oraciones interrogativas o exclamativas directas o indirectas.

Pueden ir precedidas de preposición:

¿Por qué lo has hecho?

¡Con qué poco te conformas!

Algunas oraciones interrogativas y exclamativas directas pueden estar encabezadas por conjunciones o por relativos átonos que, por carecer de acento prosódico, deben escribirse sin tilde:

¿Que no sabes qué dijo ayer el presidente del Gobierno?

[que es aquí una conjunción, la oración principal está elidida: ¿Dices que no sabes qué dijo el presidente del Gobierno?]

¡Que pases un buen día!

[que es conjunción que introduce una subordinada: Te deseo que pases un buen día]

¡Como si fuera tan fácil!

[lo dices como si fuera tan fácil]

–Encontré el libro. –¿Donde te dije yo que estaba?

[donde = ‘el lugar en el que yo te dije que estaba’]

Estas palabras se escriben sin tilde en los siguientes casos:

Cuando introducen una oración de relativo con antecedente explícito o sin él:

Se puso el vestido que yo le había regalado.

Ganó el premio quien mejor lo hizo.

Encontré el libro donde tú me habías dicho.

Que, como, cuando y cuanto no llevan tilde cuando funcionan como conjunciones, esto es, sirviendo de enlace entre oraciones:

Me dijeron que volviera al día siguiente.

Toca tan bien como su padre.

Cuando lo dice el Gobierno, es por algo.

Es tanto más difícil conseguir ese trabajo cuanto mayor sea el número de solicitudes.

Cuando funcionan como preposiciones introduciendo un grupo nominal haciéndolo depender de una palabra anterior:

Vivimos aquí cuando la guerra.

Tiene un trabajo como maquinista.

Ve donde el médico.

Cuando forman parte de determinadas locuciones o expresiones, son átonas y se escriben sin tilde:

¿a que no lo sabes?

dar mucho que hablar

hay que ver lo crecido que está el niño

eso ni que decir tiene

quien más, quien menos

cuanto antes

en tanto en cuanto

son tal para cual

cada quien es dueño de sus palabras

de cuando en cuando

Estas palabras pueden pronunciarse tónicas o átonas y escribirse con o sin tilde en los siguientes casos:

Cuando encabezan oraciones relativas de antecedente implícito indefinido de carácter inespecífico. Esto ocurre sobre todo con las relativas que dependen de los verbos haber y tener, o de otros como buscar, encontrar, necesitar, etc.:

Tiene en quién / quien confiar.

No hay por dónde / donde cogerlo.

No hay dónde / donde esconderse.

Busco quién / quien me pueda ayudar con esta traducción.

Cuando introducen subordinadas que pueden analizarse como relativas sin antecedente expreso o como interrogativas indirectas. Verbos como gustar, depender, saber, ignorar, olvidar, recordar, imaginar, etc., o expresiones como según o independientemente de, pueden construirse bien con oraciones interrogativas indirectas, bien como oraciones de relativo sin antecedente:

No me gusta cómo / como te mira.

Todo depende de cuándo / cuando te quieras casar.

Según quién / quien me lo pida.

Cuando como se emplea con un valor equivalente a que para introducir subordinadas como complemento de verbos de percepción, en este caso como es átona y se escribe sin tilde:

Ya verás como al final gana el Barcelona.

(‘ya verás que al final gana el Barcelona’).

Me contó como no pensaba ir a la fiesta.

(‘me contó que no pensaba ir a la fiesta’).

Cuando cómo equivale a de qué manera, introduce interrogativas indirectas y lleva tilde:

Mira cómo vas de desastroso por ahí.

Cuéntame cómo te ha ido y si has conocido la felicidad.

Hay casos en los que la conjunción átona como viene a confluir con el adverbio interrogativo tónico cómo. En estos casos, puede interpretarse como voz átona o como voz tónica sin que cambie sustancialmente el sentido:

Entonces vio como / cómo la planta se iba marchitando.

Oímos como / cómo discutían.

Contó como / cómo Karajan le había animado a seguir con el canto.

En algunos de estos casos, se da un cambio de significado:

Ya verás como viene (‘seguro que viene, ya verás’).

Ya verás cómo viene (‘ya verás de qué manera viene: ojeroso, cansado, etc.)

Qué lleva acento cuando es pronombre interrogativo o exclamativo que introduce enunciados interrogativos o exclamativos directos, y oraciones subordinadas interrogativas o exclamativas indirectas:

¿Qué te ha pasado?

¡Qué me vas a decir a mí!

Ahora entiendo por qué no aceptaste ese trabajo.

–¿Sabes una cosa? –¿Qué?

(en estos casos, es frecuente en el habla coloquial la anteposición del artículo el: –¿El qué?; pero no es admisible anteponer el artículo lo)

Qué puede introducir oraciones interrogativas indirectas con verbo en infinitivo y dependientes del verbo tener y haber:

¿A qué te dedicas?

No tengo trabajo y no tengo qué hacer.

Después de la guerra no había qué comer.

No ha de confundirse este uso con las perífrasis verbales haber que o tener que seguidas de infinitivo, que expresan necesidad u obligación, en las que que es conjunción átona que debe escribirse sin tilde:

No tienes que hacer nada.

No tenía apetito, pero había que comer.

Como todos los interrogativos, puede sustantivarse:

Hay que distinguir el qué del cómo.

No le importa el qué dirán (‘la opinión de la gente’).

Qué sigue teniendo valor interrogativo y, por tanto, se escribe con tilde cuando va precedido de la preposición según, o del verbo depender o el adverbio independientemente seguidos de la preposición de, y puede ser sustituido por lo que:

Todo depende de qué queramos hacer.

Independientemente de qué decida el Gobierno.

Independientemente de lo que decida el Gobierno.