„Extensionale Definition: Aufzählung aller Elemente einer Menge. Extensionale Definitionen eignen sich in der Linguistik insbesondere für Wortklassen mit (relativ) wenigen Elementen.

Intensionale Definition: Angabe der charakteristischen Eigenschaft der Elemente einer Menge.“

[Welte, W.: Moderne Linguistik: Terminologie / Bibliographie, Bd. 1, S. 108-109]

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„Extension

Die Extension eines Begriffes ist die Klasse der Gegenstände (Signifikate, Designate, Denotate) auf die der Begriff zutrifft, die unter diesen Begriff fallen (Prädikatenlogik). Die Extension des Begriffs «Student» ist die Klasse/Menge aller Studenten, d. h. aller Individuen, auf die das Prädikat/der Begriffsinhalt «Student» zutrifft.

In der Logik werden Begriffe nach ihrem Inhalt oder nach ihrer Intension und nach ihrer Extension oder ihrem Umfang untersucht. Die Denotation eines Zeichens (im Sinne von Bezeichnung, Denotat, Signifikat, Designat) fällt mit seinem extensionalen Aspekt zusammen; das Designatum ist dann die Klasse aller Gegenstände x₁ ... x_n.

Extension und Intension stehen in umgekehrt proportionalem Verhältnis zueinander; je größer die Extension eines Begriffs, desto geringer seine Intension und umgekehrt: die Extension von «Blume» ist größer als die von «Tulpe»; die Intension von «Tulpe» ist größer als die von «Blume», sie enthält mehr Bedeutungskomponenten/ semantische Merkmale, sie bezieht sich auf eine größere Attributklasse.

Die Extension eines Begriffs ist abhängig von seiner Intension: erst, wenn der Begriffsgehalt, bzw. seine wesentlichen Merkmale bestimmt sind, kann seine Extension definiert werden.

Einen Versucht, alle intensionalen Bestimmungen durch extensionale zu ersetzen, stellt Carnaps Extensionalitätstheorie dar. Zu Carnaps Identifizierung von Referenz und Extension, von Sinn und Intension vgl. Lyons, dt. 1971, S. 465. Die einzelnen Sprachen unterscheiden sich hinsichtlich der Extension ihrer »grob äquivalenten« Ausdrücke (Lyons, S. 467 f.).

Die extensionale Definition eines Begriffs ist durch Aufzählung der Gegenstände/Elemente, die unter den Begriff fallen, gegeben. Die Elemente der Menge werden, durch Kommas getrennt, in Schweifklammern aufgeführt: M = {a, b, c}. Allegemein herrscht die Tendenz, im Sinne Carnaps intensionale in extensionale zu überführen, da diese präziser/eindeutiger sind und die Behandlung durch Computer ermöglichen.” [Lewandowski, Th., Bd. 1, S. 189-190]

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“Extensionale Definition

Die extensionale Definition wird durch Aufzählung der Gegenstände/Denotata gegeben, die unter einen Begriff fallen, z.B. die e. D. von »Student« durch Aufzählung aller (der Menge(Klasse), auf die der Begriff zutrifft. Hierbei wird deutlich, dass die e. D. von der intensionalen Definition abhängig ist. Auf der e. D. beruhen die e. Bezeichnungstheorien, weitgehend die Konstrukt- oder Kalkülsprachen.” [Lewandowski, Th., Bd. 1, S. 190]

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“Extensional

1.       In der modernen Logik und philosophischen Semantik spricht man davon, ein singulärer oder genereller Ausdruck habe in einem Satz genau dann ein e. Vorkommen, wenn das Auswechseln (Substitution) eines Ausdrucks mit einem anderen von gleicher Extension den Wahrheitswert des Satzes unverändert lässt. Die beiden Eigennamen <Dr. Jekyll> und <Mr. Hyde> bezeichnen dieselbe Person, haben also gleiche Extension. In dem Satz <Mr. Hyde verließ um t₁ das Haus> können die beiden Eigennamen miteinander vertauscht werden, ohne dass sich der Wahrheitswert des Satzes ändert; sie haben in diesem Satz daher e. Vorkommen. In dem Satz dagegen <Der Zeuge glaubt, Mr. Hyde habe um t₁ das Haus verlassen>, haben die beiden Namen keine e. Vorkommen; denn wenn der Zeuge nicht weiß, dass <Dr. Jekyll> und <Mr. Hyde> dieselbe Person bezeichnen, ist der Satz im einen Fall wahr, im anderen falsch.

2.      Wenn ein Ausdruck mit e. Vorkommen in einem Satz aus diesem entfernt wird, sagt man, der verbleibende Ausdruckszusammenhang stelle einen e. Kontext dar. Ein Kontext, der nicht e. ist, heißt intensional.

3.      Das Extensionalitätsprinzip besagt, dass jeder Kontext extensional ist, d.h., dass die Extension eines zusammengesetzten Ausdrucks allein von den Extensionen jener Ausdrücke abhängt, die in ihm vorkommen. Das Prinzip bezeichnet die Voraussetzung für die logische Analyse mit Hilfe der Standardlogik (Prädikatenlogik, extensionale Logik). Seine Begrenzung wird heute meist drin gesehen, dass es sich als unmöglich herausgestellt hat, die Existenz von intensionalen Kontexten zu leugnen. Das Extensionalitätsprinzip gilt grundsätzlich nicht für Ausdruckszusammenhänge mit «weil» oder anderen Wörtern für Kausalzusammenhänge, es gilt nicht für Sätze, die etwas über Möglichkeit oder Notwendigkeit aussagen, und nicht für Sätze, die Personen Urteilshaltungen oder Handlungen zuschreiben (s. Modallogik).

4.      Ein Operator ist genau dann extensional, wenn seine Anwendung auf einen rein extensionalen Kontext die Extensionalität des Kontextes nicht verändert. So ist «nicht» ein extensionaler Operator, wogegen «Es ist notwendigerweise der Fall, dass ...» ein intensionaler Operator (Modaloperator) ist.”

[Hügli, A. / Lübcke, P. (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 180]

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“Extensionalitätsthese

Die bekannteste Form der Extensionalitätsthese ist die Behauptung, dass jeder Satz, der in nicht-extensionaler (intensionaler) Sprache ausgedrückt ist, auch in extensionaler Sprache so ausgedrückt werden kann, dass er mit dem ursprünglichen Satz logisch äquivalent ist. Die Extensionalitätsthese ist ein wichtiges Glied in Wittgensteins Abbildtheorie im Tractatus logico-philosophicus.”

[Hügli, A. / Lübcke, P. (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 180]

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“Extension/Intension

In der traditionellen Logik werden (terminologisch fixiert seit der Logik von Port‑Royal von 1662) Inhalt (intension, compréhension, connotation) und Umfang (extension, étendue, denotation) des Begriffs unterschieden. Der Inhalt eines Begriffes ist die Gesamtheit der Bestandteile, die als in ihm enthalten gedacht werden. Dieser Inhalt ist es, der in der Definition eines Begriffes angegeben wird. Der Umfang eines Begriffes ist das, was als unter ihm enthalten gedacht wird, also die Gesamtheit der Arten und Unterarten des Begriffes (qua Gattungsbegriff) bzw. die Klasse der durch ihn denkbaren Gegenstände. Inhalt und Umfang eines Begriffes verhalten sich umgekehrt proportional zueinander. Je größer der Umfang des Begriffes (d.h. die Zahl der unter ihm enthaltenen inhaltlich verschiedenen Dinge) und damit seine Allgemeinheit ist, desto kleiner ist i.a. sein Inhalt, weil er nur das allen seinen Anwendungsfällen Gemeinsame enthält. Umgekehrt hat ein Begriff i.d.R. einen desto größeren (reicheren) Inhalt, je geringer seine Allgemeinheit ist und d.h. je weniger er infolge seiner größeren Übereinstimmung mit inhaltlich verschiedenen Individuen zur Bezeichnung ihrer Gemeinsamkeiten geeignet ist. Begriffe von gleichem Umfang, aber verschiedenem Inhalt heißen koextensiv.

Dem traditionellen Begriffsinhalt entspricht bei Frege der Sinn des Begriffswortes, wohingegen dem Begriffsumfang nicht die Fregesche Bedeutung (Sinn und Bedeutung) des Begriffswortes entspricht. So kann man zwar sagen, es liege Identität der Bedeutung zweier Begriffswörter dann und nur dann vor, wenn die zugehörigen Begriffsumfänge zusammenfallen. Aber die Bedeutung (und nicht der Sinn) eines Begriffswortes ist der Begriff selbst, während die Bedeutung des Begriffes sein Umfang ist, d.h. die Gegenstände, die unter ihn fallen. So gehören der Begriff selbst und seine Bedeutung zwar eng zusammen und haben für Frege dieselbe Objektivität; da aber Begriffsumfänge Gegenstände und nicht Begriffe sind, kann man nicht sagen, dass der Begriffsumfang die Bedeutung des Begriffswortes (das hieße ein Begriff) sei. Und da nach Frege ein Begriff eine Funktion ist, deren Wert immer ein Wahrheitswert (das Wahre oder das Falsche) ist, kann der Begriffsumfang als der Wertverlauf einer Funktion bezeichnet werden, deren Wert für jedes Argument ein Wahrheitswert ist. Statt vom Urteil als dem in einem Satz sprachlich ausgedrückten Inhalt spricht Frege vom Sinn eines Satzes und identifiziert ihn mit dem Gedanken desselben. Alle in Aussagesätzen gebrauchten Zeichen und Zeichenverbindungen haben einen inhaltlichen Sinn und eine durch sie bezeichnete Bedeutung. Da diese bei Sätzen der Wahrheitswert ist und dieser Wahrheitswert (Wahrheit oder Falschheit) bei zusammengesetzten Sätzen nur vom Wahrheitswert und nicht vom Sinn (dem objektiven Inhalt des Denkens) der Teilsätze abhängt, so ist der Wahrheitswert des ganzen Satzes eine Funktion der Wahrheitswerte der Teilsätze und kann der Tafel der Wahrheitsfunktionen entnommen werden.

Eine vom Sinn der Aussagen (Sätze) und Aussagefunktionen (offener Sätze) abstrahierende wahrheitsfunktionale Betrachtungsweise heißt extensional; ebenso wie diejenige, für die Begriffe, unangesehen der Verschiedenheit ihres Inhalts, dieselbe Bedeutung haben, wenn sie koextensiv sind. Eine am Inhalt der Begriffe und Sinn der Sätze orientierte Betrachtungsweise heißt entsprechend intensional. Die sog. Extensionalitätsthese besagt, dass alle Aussagen über einen Begriff bzw. eine Aussagefunktion extensional sind, d.h. in eine E.saussage umgeformt werden können, ohne dadurch an Gehalt zu verlieren.

Im Anschluss an die traditionelle Lehre von Intension und Extension und an Freges Unterscheidung von Sinn und Bedeutung (eines Namens) hat Carnap seine "Methode der Extension und Intension" konzipiert. Er verallgemeinert dieses Begriffspaar, indem er es nicht bloß auf Prädikatoren (Begriffsausdrücke), sondern auch auf Sätze und Individuenausdrücke anwendet, also allgemein auf "Designatoren". Die Intension eines Prädikators ist die Eigenschaft (oder Relation), die er ausdrückt, seine Extension die Klasse derjenigen Individuen (oder geordneten n‑tupel), auf die er angewandt wird. Die Intension eines Satzes ist entsprechend die Proposition (das Urteil), die er ausdrückt; seine Extension ist sein Wahrheitswert. Die Intension eines Individuenausdrucks ist der von Carnap so genannte Individuenbegriff, seine Extension ist das Individuum, auf das er (der Individuumausdruck) sich bezieht. Entsprechend haben die Variablen der genannten Designatoren ihre Wertintensionen und Wertextensionen. Extension und Intension können nach Carnap als zwei Komponenten der Bedeutung (i.w.S.) eines Ausdrucks angesehen werden.

Quine nennt die Klasse aller Dinge, von denen ein allgemeiner Terminus (ein Prädikat) wahr ist, die Extension dieses Ausdrucks; seine Bedeutung (= Freges Sinn) wird davon wie üblich unterschieden. So haben etwa die allgemeinen Termini "Lebewesen mit Herz" und "Lebewesen mit Nieren" dieselbe Extension, aber eine verschiedene Bedeutung. Statt von Intension und Extension spricht Quine auch von Bedeutung (meaning) und Bezugsobjekt (reference) eines Wortes. Entsprechend unterscheidet er zwischen einer "theory of meaning" und einer "theory of reference" statt der beide Bereiche umfassenden Semantik. (Behält man diesen Terminus bei, so muss man zwischen intensionaler und extensionaler Semantik unterscheiden.) In einer extensionalen Sprache ist die sie definierende Austauschbarkeit zweier Prädikate, ohne dass der Wahrheitswert sich ändert, nicht zugleich eine Gewähr für Bedeutungsgleichheit (Synonymie). So könnte die Übereinstimmung der Extensionen von "Junggeselle" und "unverheirateter Mann" statt auf der Bedeutung der beiden Ausdrücke auch bloß auf einer zufälligen Tatsache beruhen, wie das bei der Übereinstimmung der Extensionen von "Lebewesen mit Herz" und "Lebewesen mit Nieren" der Fall ist. Es fragt sich, ob man für die Zwecke der Wissenschaft nicht mit einer solchen bloß extensionalen Sprache auskommt, wie es die Mathematik tut. Jedenfalls bezweifelt Quine die Brauchbarkeit intensionaler Objekte wie z.B. Freges Sinn‑ und Carnaps Individuenbegriff und Proposition für die Wissenschaft. Dann wären modallogische Begriffe (möglich, notwendig...) und "propositional attitudes" (glauben, wünschen...), die den Gebrauch von Intentionen implizieren, entweder in eine Sprache übersetzbar, die nur Zeichen für Extensionen und logische Operatoren enthält, oder sie gehörten nicht zur eigentlichen Wissenschaft. Ebenso wären die Begriffe der Synonymie und des analytischen Satzes, die sich auf Intensionen beziehen, diskreditiert.

Nach der späteren Ansicht Carnaps ist die Extensionalitätsthese jedoch eine bloße Vermutung, während er gezeigt hat, dass es umgekehrt möglich ist, die extensionalen Begriffe auf intensionale zurückzuführen.“

[Baum, M: „Extension/Intension“. In: Braun, E. / Radermacher, H.: Wissenschaftstheoretisches Lexikon. Graz / Wien / Köln: Styria, 1978, S. 189-191]

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“Significado y referencia

Carnap propone la división de la semántica en teoría de la extensión y teoría de la intensión. La primera estudiaría la relación de las palabras y frases a las cosas (denotación, extensión); la segunda se ocuparía del significado o sentido de las palabras y de las frases (connotación, comprensión).

La lógica tradicional habla, respectivamente, de extensión (aptitud de un predicado para ser atribuido a los miembros de un grupo de individuos) y de comprensión (conjunto de notas que definen a un predicado). La doctrina de las relaciones entre la extensión y la comprensión se encuentra clásicamente expuesta en la Logique de Port Royal (1662): cuanto mayor es la extensión de un predicado menos es su comprensión y viceversa (p. ej., «animal» es más extenso que «hombre» y a la vez más reducido en comprensión). La pareja de términos de análogo sentido denotación y connotación procede de John Stuart Mill (1806-1873).

La diferencia entre extensión e intensión se aprecia fácilmente analizando el uso de los predicados (nombres comunes). Así, por ejemplo, la extensión del predicado «azul» está determinada por la clase de objetos que son azules. Pero también cabe decir que el color azul tiene una serie de características propias, como la de ocupar un determinado lugar en el espectro cromático: tales características constituirían la intensión (significado) del predicado «azul».

Al considerar a los predicados desde el punto de vista «extensional» se dice que aluden, o mejor, que denotan clases o conjuntos. Pero cuando se los contempla desde el ángulo «intensional» se dice que designan propiedades o notas de los objetos. Cuando un predicado es poliádico, la clase o conjunto que denote recibe el nombre más específico de relación.

La mencionada diferencia de punto de vista en lógica repercute en el criterio que se utilice para distinguir unos predicados de otros. Desde el punto de vista extensional, dos predicados son idénticos cuando se atribuyen a una misma clase de individuos. Por ejemplo, los precitados «animal racional» y «bípedo implume» son extensionalmente idénticos, puesto que ambos denotan la misma clase, que es la de los seres humanos. Pero para que dos predicados se consideren idénticos desde el punto de vista intensional se requiere además que contengan las mismas notas. La determinación de criterios de sinonimia (identidad de significado) y de definibilidad por especificación de notas (como cuando se define el agua diciendo que es un compuesto de dos partes de hidrógeno y una de oxígeno) son cuestiones en que interviene la lógica intensional.

En un breve ensayo, hoy famoso, Frege extendió de un modo muy original la mencionada dualidad semántica de intensión y extensión – en terminología de Frege: «sentido» y «referencia» – para el caso de los nombres propios y los enunciados. La necesidad de introducir esta distinción en el uso de los nombres propios quedaría patentizada por enunciados tales como

La estrella de la mañana es la misma que la estrella de la tarde.

Este enunciado sólo puede ser entendido si se acepta que las expresiones «estrella de la mañana» y «estrella de la tarde», que son nombres propios, tienen un sentido distinto, mientras que su referencia es la misma (porque la información empírica enseña que ambas denotan una sola y misma cosa: el planeta Venus). Frege: Über Sinn und Bedeutung (Sobre sentido y referencia), 1892. En cuanto a la traducción de este título conviene advertir que la palabra alemana «Bedeutung» se traduce normalmente por «significado», pero en el contexto de la teoría de Frege hay que traducirla por «referencia» o «denotación». El término «sentido», en cambio, puede ser asimilado aquí a «significado».

La mencionada dualidad semántica de sentido y referencia fue asimismo extrapolada por Frege al caso de los enunciados. En un enunciado cabe distinguir dos tipos de contenido: por una parte, el hecho que enuncia y por otra su valor de verdad. Así, por ejemplo, en el enunciado «llueve» una cosa es su alusión a la lluvia y otra el valor de verdad que le corresponda (verdad, si es cierto que llueve, y falsedad si no es cierto que llueve). Ahora bien, para Frege el sentido (significado) del enunciado sería lo que por él se capta aun sin saber si es verdadero o falso; y la referencia (denotación) del mismo sería constituida por su valor de verdad.

De acuerdo con esta teoría se da la circunstancia de que todos los enunciados verdaderos tienen una misma referencia, a saber: la verdad, aunque el sentido de cada uno de ellos sea diverso. Y análogamente sucede con los enunciados falsos, pues por mucho que difiera el sentido de cada uno, su referencia en todo caso es la falsedad.

Sobre la viabilidad de una lógica o de una semántica establecida con criterio intensional difieren las opiniones. Algunos autores, como Carnap defienden esa viabilidad. Otros, como Quine estiman que la lógica intensional y la teoría del significado no llevan a ninguna parte. La opinión general es, en todo caso, que la lógica extensional y la teoría de la referencia constituyen el camino más seguramente practicable de la ciencia lógica. De hecho, ha sido también el más practicado.

Las categorías extensionales pertenecen a la semántica entendida como teoría de la referencia.”

[Garrido, Manuel: Lógica simbólica. Madrid: Editorial Tecnos, ²1977, pp. 218-229]

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