GÖDELS SATZ Teorema de Gödel

GÖDELS SATZ Teorema de Gödel

(comp.) Justo Fernández López

Diccionario de lingüística español y alemán

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Kurt Gödel hatte die geniale Idee, eine Aussage der Form -Ich bin nicht beweisbar- zu untersuchen. Stimmt sie, kann man sie nicht beweisen. Ist sie eine Lüge, kann man sie beweisen; dann hat man etwas bewiesen, das nicht stimmt. Die Aussage ist nur wahr, wenn sie nicht bewiesen werden kann. Es gibt folglich wahre Aussagen, die sich nicht beweisen lassen. Diese Erkenntnis, dass unserer Erkenntnis prinzipiell Grenzen gesetzt sind - der Gödelsche Unvollständigkeitssatz -, hat die Mathematik und Philosophie des 20. Jahrhunderts zutiefst erschüttert. Wie kam es zu ihr, und welche Konsequenzen hat sie?“

[Rezension von Pierre Basieux: Abenteuer Mathematik. Brücken zwischen Wirklichkeit und Fiktion. Frankfurt/M.: Rowohlt TB-V. 1999.

En sentido semántico se dice que un cálculo es completo cuando todas las verdades formales formulados en su lenguaje son teoremas del cálculo. En sentido sintáctico, se dice que un cálculo es completo cuando, al añadírsele una fórmula que no sea un teorema suyo, el cálculo se hace inconsistente. (El añadido se entiende hecho al sistema de los teoremas del cálculo). El sentido sintáctico de ‘completitud’ incluye en cierto modo al semántico: pues si el añadir al cálculo una fórmula no demostrable en él le hace inconsistente, es que él demuestra todas las fórmulas verdaderas, o que, por decirlo gráficamente, es completo porque “no se le puede añadir nada”.

La parte de la lógica elemental a la que hemos llamado ‘lógica de enunciados’ es completa en el sentido más fuerte (el sintáctico) de los dos dichos; luego veremos un esbozo de como se demuestra que la lógica de predicados de primer orden –o sea, el sistema de la lógica elemental– es completa (semánticamente).»

[Sacristán, Manuel: Introducción a la lógica y al análisis formal. Barcelona: Ariel, 1973, p. 182]

La gödelización se basa en el teorema fundamental de la aritmética que enseña que la descomposición de un número en factores primos es unívoca. La técnica consiste en representar toda fórmula de la lógica de predicados por un número que es un producto de factores primos afectados por exponentes.

Se empieza por asignar a cada símbolo elemental un número, llamado ‘número de Gödel’ del símbolo. [...]

Lo esencial de la gödelización es esto: la lógica de predicados (de orden superior) permite expresar la aritmética. En lógica de predicados pueden construirse, pues, expresiones que hablan de números, los relacionan, etc. Esas expresiones constituirían (si dieran lugar a un cálculo completo) una formalización de la aritmética. Por otra parte, dada la infinitud de órdenes de la lógica de predicados, en ella pueden también expresarse afirmaciones acerca de las afirmaciones aritméticas: por ejemplo, que tal afirmación aritmética es verdadera o falsa, o que es demostrable, o que es indemostrable. Diremos, para abreviar, que en la lógica de predicados puede expresarse también la “metaaritmética”. Pues bien: la gödelización de la lógica de predicados permite a su vez representar las expresiones de la lógica de predicados –incluidas, naturalmente, las metaaritméticas– por expresiones aritméticas, de modo que una expresión metaaritmética sobre la verdad, falsedad, demostrabilidad o indemostrabilidad de una expresión aritmética podrá representarse a su vez por una expresión aritmética. En esta circunstancia se basa la argumentación de Gödel. [...]

La argumentación de Gödel demuestra que ya la parte de la lógica de predicados necesaria para formular la aritmética es incompleta, en el sentido de que existe al menos una fórmula de la teoría aritmética formulable en ella la cual es verdadera (cosa que se establece por un razonamiento metalógico, “metaritmético”) y que, sin embargo, no puede ser demostrada en la formulación de la aritmética misma en la lógica de predicados.»

[Sacristán, Manuel: Introducción a la lógica y al análisis formal. Barcelona: Ariel, 1973, p. 189 y 191-193]

«Sobre la significación del teorema de incompletitud de Gödel para la teoría de la ciencia:

El teorema de incompletitud de Gödel enseña por de pronto que toda formalización de la aritmética en el cálculo de predicados es incompleta. Como el cálculo de predicados, si limitación de orden, es el algoritmo lógico más potente, puede decirse, de un modo más general, que toda formalización de la aritmética es incompleta. [...]

La incompletitud de la formalización de la aritmética es una incompletitud del instrumento formalizador mismo, o sea, del algoritmo lógico. De aquí que el resultado de Gödel pueda entenderse también así: el cálculo de predicados es incompleto. (Todos estos resultados se entienden con la condición de nuestro punto de partida, a saber: que el cálculo de predicados es consistentes.)

La lógica de predicados sin limitación de orden es aquella en la cual se intenta (sin éxito) formalizar la deducción para cualquier tipo de conocimiento que sea al menos de la complejidad de la aritmética. Y por debajo de la complejidad de la aritmética debe haber, puede pensarse, muy poco conocimiento teórico de interés. De aquí que, aún más laxamente, el teorema de Gödel haya podido entenderse también en el siguiente sentido filosófico: la lógica es incapaz de formalizar la deducción necesaria para fundamentar definitivamente cualquier conocimiento de algún interés teórico.

Lo único que demuestra el teorema de Gödel es que resulta imposible conseguir un conjunto de axiomas y un juego de reglas de transformación que suministren todas las verdades formales expresable en el lenguaje de la lógica de predicados. Esto, naturalmente, no excluye que los criterios logicoformales en particular, y los criterios racionales en general, sigan valiendo. Ellos son los que se aplican en las argumentaciones metalógicas que resultan necesarias por la incompletitud del cálculo mismo. En principio, las fórmulas verdaderas indemostrables en un cálculo a partir de los axiomas del mismo pueden demostrarse metalógicamente con los mismos “criterios lógicos”, como se hace, por ejemplo, en la argumentación de Gödel. Claro que la demostración metalógica planteará a su vez el problema de la incompletitud del razonar metalógico formalizado mismo: también en ese metalenguaje habrá verdades indemostrables, que serán demostrables en el metalenguaje de ese metalenguaje; y así sucesivamente. El proceso es, desde luego, ilimitado. Y ello muestra que el programa o ideal algorítmico, en el sentido de calculización de toda deducción, no es realizable. Pero eso sólo quiere decir que el sistema formal no se contiene ni se justifica nunca totalmente a sí mismo. Lo cual puede ser acaso molesto para filósofos idealistas como Platón, que crean en la autosuficiencia del mundo de los abstractos; pero no para un racionalismo como el aconsejado por la práctica de las ciencias, el cual debe ver en la experiencia con el mundo real la justificación de las formaciones abstractas, justificación siempre provisional y relativa.

En segundo lugar, el hecho de que la lógica misma haya descubierto y demostrado los límites o la inviabilidad de una realización universal del programa algorítmico, en su forma clásica, es más bien un éxito que un fracaso de la actividad capaz de tal resultado. El resultado mismo significa que el pensamiento racional puede saber cuáles de sus actividades son algoritmizables, ejecutables (en principio) mecánicamente y cuáles no: cuáles son, como suele decirse, trabajo racional mecánico, y cuáles trabajo racional productivo. Fracaso del pensamiento es más bien la situación en la cual el pensamiento no sabe cuál es el alcance de su actividad, como suele ocurrir a muchos filósofos.»

[Sacristán, Manuel: Introducción a la lógica y al análisis formal. Barcelona: Ariel, 1973, p. 197-199]

La Metateoría consiste sobre todo en estudiar si los cálculos lógicos responden a cierto tipo de requisitos. Estos requisitos son, fundamentalmente, tres.

1. El requisito de consistencia. Un cálculo es consistente si y sólo si no es posible demostrar en él una fórmula y su negación.

2. El requisito de completud o completitud. Un cálculo es completo cuando en él se pueden demostrar todas las fórmulas verdaderas construibles con sus símbolos.

3. El requisito de decibilidad. En rigor, llamar «decidible» a un cálculo es una figura de dicción. Decidibles serán, en todo caso, las fórmulas del cálculo, y no el cálculo como tal. Se acostumbra a decir que un cálculo es decidible cuando dispone de al menos un procedimiento para decidir, en un número finito de pasos reglamentados, si una fórmula es verdadera o no (y, por ende, en el caso de que el sistema sea completo, si es o no derivable en él).

Por lo que se refiere al cálculo de enunciados, cumple con los dos primeros requisitos.

También el cálculo de predicados de primer orden reúne los requisitos de consistencia y completud.

Importante es la demostración del carácter completo de la lógica cuantificacional elemental, llevada a cabo por Kurt Gödel en 1930. El cálculo de predicados de primer orden no es decidible, en su conjunto. Lo son ciertos estratos – como la lógica de predicados monádicos – o ciertos conjuntos de fórmulas – ciertos tipos de expresiones de la lógica de predicados poliádicos –, pero la lógica de predicados poliádicos es, como tal, indecidible, y, por lo tanto, lo es también la lógica general de predicados, que la incluye. Lo demostró Alonzo Church en 1936.

En cuanto a la lógica cuantificacional superior, Kurt Gödel, el que probó en 1930 la completud de la lógica elemental, demostró, en un celebérrimo trabajo publicado en 1931, que es imcompleta: mientras que las verdades formales acerca de cualesquiera individuos pueden ser organizadas en un cálculo lógico que las fundamente, las verdades acerca de cualesquiera conjuntos de individuos (o acerca de cualesquiera predicados de individuo) no pueden ser presentadas en su totalidad como el conjunto de los teoremas de un sistema lógico. El hecho de que León Henkin, en 1950, haya matizado el teorema de Gödel mostrando la posibilidad de alcanzar en lógica cuantificacional superior una cierta completud, una completud secundum quid, apenas priva a dicho resultado metateórico de su impacto sobre la lógica formal, sobre la filosofía de la lógica, y, en definitiva, sobre la filosofía a secas.”

[Deaño, Alfredo: Introducción a la lógica formal. 2. Lógica de predicados. Madrid: Alianza Ed., 1975, p. 200-201]

„El célebre teorema de Gödel demostró que en la matemática con un cuerpo finito de axiomas jamás podremos demostrar que sus conclusiones no serán contradictorias. Se dirá que esta demostración es rigurosa y, por tanto basada en el principio de contradicción; pero es un principio de contradicción que se refiere al légein, es decir, a la mente que lo demuestra. Desde el punto de vista objetivo, no hay posibilidad de demostrar la no-contradicción de un cuerpo finito de axiomas. De ahí que la compatibilidad no se funda en la contradicción, sino que, al revés, es la no-contradicción la que se funda en la compatibilidad.“

[Zubiri, Xavier: Los problemas fundamentales de la metafísica occidental. Madrid: Alianza Editorial, 1994, p. 160]

“La idea, por muy irreal que sea, necesita realizar las propiedades definidas de una manera objetual. Uno pudiera pensar que, puesto que en esa realidad objetual no va a haber más propiedades que las definidas con mis conceptos, el averiguar la estructura de estos objetos va a ser cuestión de lógica discursiva. Pero las matemáticas demuestras que esto no es verdad. Por numeroso que sea el número de propiedades – si es infinito no hay cuestión – con que por un sistema determinado se concibe un ente matemático, ese sistema de propiedades me planteará problemas que no pueden ser resueltos con el sistema con que los he definido: es el teorema de Gödel. Es que uno ha realizado el intento de un objeto, y ese intento da una consistencia de realidad objetual, que transciende del ámbito con que yo me lo represento.

Lo mismo acontece con la imaginación. Ni las ideas son las cosas en que el hombre piensa, ni las imágenes son las imágenes que el hombre está imaginando. La idea y la imagen son algo que está a mis espalda, algo que no está visto por mí, algo con que veo de una manera intencional la realidad objetual que en ellas se me presenta. Las ideas se definen, las imágenes se describen. Pero hay por bajo algo más hondo: se realizan objetualmente.“

“El espacio geométrico es real con la misma realidad según la cual es real esta piedra. No es un mero concepto, pero es realidad libremente realizada: libre pero real, real pero libre. Esta postulación postula por tanto que «la» realidad se realiza en tal contenido: se postula esta realización.

El modo matemático de esta postulación es lo que aquí llamo construcción. El espacio geométrico no es un sistema de conceptos objetivos, pero la construcción realiza postuladamente estos conceptos objetivos. Construir no es sólo hacer de algo término intencional e irreal (esto sería cuestión de simple contenido) sino que consiste en proyectar esto irreal del concepto sobre «la» realidad «según conceptos». Por tanto construcción es un modo de realización: es realizar según conceptos. [...]

Los conjuntos de Gödel y Cohen están construidos (en mi concepto de construcción) en la realidad física. Entonces la construcción misma no concierne formalmente a los conceptos, no es una construcción «conceptiva» sino que es una realización en «la» realidad física, pero «según conceptos»; dos cosas completamente distintas. Y en este sentido, todo objeto matemático está construido postuladamente. [...] Los objetos matemáticos tienen sus propiedades «de suyo» es decir son reales. Es que el objeto real postuladamente realizado según conceptos tiene, por estar realizado, más notas o propiedades que las definidas en su postulación. Por esto y sólo por eso es por lo que plantea problemas que pueden no ser resolubles con el sistema finito de axiomas y postulados que han definido su realización. Lo construido en «la» realidad es, por estar realizado, algo más que lo postulado al realizarlo. Es a mi modo de ver el alcance del teorema de Gödel. No se trata de una limitación intrínseca a las afirmaciones axiomáticas y postuladas en cuanto afirmaciones – es la interpretación usual de dicho teorema – sino de que deja al descubierto ante la inteligencia el carácter de realidad de lo construido según los axiomas y postulados en cuestión. Es pues no la insuficiencia intrínseca de un sistema de postulados, sino la radical originalidad de lo construido por ser real; una realidad que no se agota en lo que de ella se ha postulado. Este objeto no es una cosa real en y por sí misma como lo es esta piedra. Pero no es sólo lo que lo «real sería», sino lo que postulada y construidamente «es real». Es a mi juicio la interpretación del teorema de Gödel. Los juicios matemáticos son pues juicios de algo real, juicios de lo «real postulado». No son juicios acerca del «ser posible» sino juicios acerca de la «realidad postulada».

Esta conceptualización de la realidad matemática por construcción no es pues un axiomatismo formalista, pero tampoco es ni remotamente lo que se ha presentado como oposición rigurosa a este axiomatismo: el intuicionismo, sobre todo de Brouwer. Es el otro concepto de construcción [junto al de Gödel y Cohen] que hay que eliminar en este problema. Para el intuicionismo, construir matemáticamente no es lo mismo que definir y construir conceptos. El intuicionismo rechaza la idea de que la matemática se funda en la lógica; una demostración que apela al principio lógico del tertio excluso no es para Brouwer una demostración matemática. La matemática no es un sistema de conceptos y de operaciones definidas. La operación, si ha de ser matemática, ha de ser operación ejecutada, por tanto operación compuesta de pasos finitos. Ciertamente la matemática no se ocupa únicamente de conjuntos finitos, se ocupa por ejemplo de los infinitos decimales que componen un número real. Es verdad que la matemática no puede ejecutar de hecho todas las operaciones necesarias para obtener un número irracional, porque los pasos que habría que dar habrían de ser infinitos. Pero sí puede darse, y se da, una ley o una regla para ir ejecutando las operaciones «indefinidamente». El objeto de la matemática sería, pues, los conjuntos finitos como término de operaciones ejecutadas sobre ellos. El intuicionismo es radicalmente finitismo. [...] Lo esencial está en que el intuicionismo pretende oponerse al axiomatismo formalista oponiendo a las definiciones axiomáticas las operaciones ejecutada. Es en el fondo la puesta en marcha de aquella idea de Kronecker según la cual Dios creó el número y lo demás lo han creado los hombres. El número entero sería un dato de la intuición, y por consiguiente construir se reduciría en última instancia a contar lo dado. No basta con definir.

Pero esta conceptualización no es sostenible porque ni los conjuntos – por finitos que sean – son formalmente intuitivos, ni las operaciones ejecutadas sobre ellos constituyen lo radical de lo que yo entiendo por construcción matemática.

En primer lugar, el conjunto finito de Brouwer no es intuitivo. La intuición es la «visión» de algo dado inmediatamente, directamente, unitariamente. En la intuición tengo la diversidad cualitativa y cuantitativa de lo dado, pero nunca tengo un conjunto. No hay estrictos conjuntos intuitivos. Porque para tener un conjunto necesito considerar aisladamente, por así decirlo, los momentos de la diversidad intuitiva como «elementos». Sólo entonces su unidad constituye un conjunto. Conjunto matemático es siempre y sólo conjunto de elementos. Pero entonces es claro que ningún conjunto, ni tan siquiera siendo finito, es intuitivo. Porque la intuición no da sino «diversidad de momentos», pero jamás nos da «conjunto de elementos». Para tener un conjunto es necesario un acto ulterior de intelección que haga de los momentos elementos. Hace falta pues una construcción. El llamado conjunto finito, presuntamente dado en la intuición, no es sino la aplicación del conjunto ya construido intelectivamente a la diversidad de lo dado. Esta aplicación es justo una postulación: se postula que lo dado se resuelve en un conjunto. Por consiguiente, en estricto rigor no puede llamarse intuicionismo a la matemática de Brouwer. El conjunto de Brouwer no es intuitivo; es el contenido objetivo de un concepto de conjunto que se «aplica» a lo intuitivo.

En segundo lugar, la construcción misma del conjunto no es radicalmente un sistema de operaciones ejecutadas. Digo «radicalmente», porque la ejecución de operaciones no es lo primario de lo que yo he llamado construcción. El conjunto finito es contenido de conceptos objetivos [...] Finitos o no, los conjuntos de que se ocupa la matemática de Brouwer y las operaciones sobre ellos ejecutadas son conjuntos y operaciones conceptivas. Y por esto no son suficientes, a mi modo de ver, para fundamentar lo matemático: la matemática no trata de «conceptos objetivos» sino de «cosas que son así». Lo que yo entiendo por construcción es algo distinto. Ciertamente no es una construcción de conceptos objetivos por mera definición, pero tampoco es una serie de operaciones ejecutadas en el sentido de Brouwer, porque estas operaciones de Brouwer son operaciones sobre conceptos objetivos. Y en este punto la matemática de Brouwer no difiere de la de Gödel y Cohen. A lo que yo me refiero es que construir no es ejecutar operaciones objetivas sino proyectar ante mi inteligencia ese contenido objetivo en «la» realidad física. Y esta realidad no está dada en intuición sino en aprehensión primordial de realidad; está dada impresivamente. Como esta realidad no tiene contenido determinado yo puedo proyectar libremente sobre ella el contenido de lo objetivamente construido operacionalmente. Y esto es la construcción. [...] El conjunto finito de Brouwer no sólo no es intuitivo, sino que es el resultado de una doble postulación: el postulado de que a lo intuitivamente dado es aplicable un conjunto de elementos, y el postulado de conferir a «la» realidad el contenido del concepto objetivo (operacionalmente construido) de conjunto. [...] En definitiva, estar construido: 1.° no es estar definido en el sentido de Gödel y Cohen, y 2.° no estar ejecutado en el sentido de Brouwer. [...]

La construcción matemática es siempre por tanto un acto de inteligencia sentiente. Y por tanto el objeto matemático tiene realidad postulada. No es un concepto objetivo de realidad, sino que es realidad en concepto. Es, insisto, la realidad misma de cualquier cosa real sentientemente aprehendida, pero con un contenido libremente construido en dicha realidad según conceptos. Lo postulado no son verdades lógicas ni operaciones ejecutadas, sino que es el contenido de lo real (ya definido o ejecutado) en construcción y por construcción postulada. [...] Los objetos de la matemática son «objetos reales», son objetos en la realidad, en esta misma realidad de las piedras o de los astros; la diferencia está en que los objetos matemáticos están postuladamente construidos en su contenido. La piedra es una realidad en y por sí misma; un espacio geométrico o un número irracional son realidad libremente postulada. Es usual llamar al objeto de la matemática «objeto ideal». Pero no hay objetos ideales; los objetos matemáticos son reales. Esto no significa que los objetos matemáticos existan como existen las piedras, pero la diferencia entre aquéllos y éstas concierne tan sólo al contenido, un contenido en el primer caso dado, libremente postulado en la realidad en el segundo. Por tanto los objetos matemáticos no tienen existencia ideal sino solamente existencia postulada, postulada pero en «la» realidad. Lo que sucede es que su contenido: 1.° estás construido, ya 2.° lo está según conceptos. Lo que tan impropiamente se llama ideal es lo real construido según conceptos. [...]

No se trata de que un espacio geométrico o un número irracional sean sentidos como se siente un color; esos objetos evidentemente no son sensibles. Se trata de que el modo de intelección de un número irracional o de un espacio geométrico es sentiente. Y lo es: 1.° porque se inteligen postuladamente en un campo de realidad, esto es en la formalidad dada en impresión de realidad, y 2.° porque su construcción misma no es mera conceptuación sino realización, es decir algo llevado a cabo sentientemente. Sin sentir lo matemático, no se puede construir la matemática. Aquí se toca con el dedo toda la diferencia entre inteligencia sensible e inteligencia sentiente. [...]

La propia ciencia matemática ha enunciado entre otras cosas dos teoremas cuya esencia, a mi modo de ver, es la anterioridad de la realidad sobre la verdad. El teorema de Gödel, según el cual lo construido por postulación tiene «de suyo» más propiedades que las formalmente postuladas, expresa a mi modo de ver que lo postulado es realidad antes que verdad. Y el teorema (llamemos así a la teoría no cantoriana de conjuntos) de Cohen: los conjuntos no son sólo sistemas de elementos determinados por precisa postulación, sino que hay, antes de eso, conjuntos que él llama genéricos y que a mi modo de ver no son genéricos, sino que son la simple realización del conjunto, sin las propiedades específicas determinadas por la postulación. Las propiedades postuladas mismas son entonces reales antes que verdaderas. La especificación no es aquí una diferencia lógica sino una determinación real. Es la realidad del conjunto antes que la verdad axiomática postulada. A mi modo de ver, éste es el sentido esencial de los teoremas de Gödel y Cohen: la anterioridad de lo real sobre lo verdadero en la matemática.”

[Zubiri, Xavier: Inteligencia y logos. Madrid: Alianza Editorial, 1982, p. 136-146]