„Mathematischer Intuitionismus (von lat. intueri, betrachten)

Mathematische Schule, die von L. E. J. Brouwer Anfang des 20. Jh. begründet wurde. Ihr Ausgangspunkt ist das Problem der Vermeidung von Antinomien der Mengenlehre, für dessen Lösung sie die mathematischen Ideen von L. Kronecker (1923-1891) und J. H. Poincaré sowie die philosophische Theorie Kants fruchtbar zu machen versuchte.

Der Intuitionismus hat für die Grundlagediskussion der Mathematik eine bedeutende Rolle gespielt und Einfluss auf die spätere Sprachphilosophie (Dummett) ausgeübt.

Für den Intuitionismus ist die Mathematik eine Konstruktion des menschlichen Bewusstseins. Wenn ein Satz eine mathematische Wahrheit ausdrückt, bedeutet das, dass er auf dem Weg über einige einfache und einleuchtende Konstruktionsphasen gewonnen worden ist. Diese Konstruktionsphasen beruhen auf einer «Intuition» synthetisch apriorischer Prinzipien. Die Forderung, dass sich alle mathematischen Wahrheiten im Prinzip konstruieren lassen müssen, hat zur Folge, dass man eine Reihe von logischen Prinzipien aufgeben muss, die für die «klassische» Mathematik grundlegend sind. Das wichtigste dieser aufzugebenden Prinzipien ist das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten: Für jeden Satz p gilt, dass p oder nich-p. Der mathematische Intuitionismus sieht die Falschheit eines Satzes ausgewiesen im Beweis, dass seine Wahrheit einen Selbstwiderspruch impliziert. In jenen Fällen, wo ein Satz weder bewiesen noch widerlegt werden kann, haben wir keinerlei Recht zu behaupten, dass der betreffende Satz entweder wahr oder falsch sei. Das trifft z.B. auf den Satz zu: «Jede gerade Zahl, die größer ist als 2, kann als Summe zweier Primzahlen ausgedrückt werden».”

[Hügli, Anton/Lübcke, Poul (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 298]

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“Para el intuiciosmo, construir matemáticamente no es lo mismo que definir y construir conceptos. El intuicionismo rechaza la idea de que la matemática se funda en la lógica; una demostración que apela al principio lógico del tertio excluso no es para Brouwer una demostración matemática. La matemática no es un sistema de conceptos y de operaciones definidas. La operación, si ha de ser matemática, ha de ser operación ejecutada, por tanto operación compuesta de pasos finitos. Ciertamente la matemática no se ocupa únicamente de conjuntos finitos, se ocupa por ejemplo de los infinitos decimales que componen un número real. Es verdad que la matemática no puede ejecutar de hecho todas las operaciones necesarias para obtener un número irracional, porque los pasos que habría que dar habrían de ser infinitos. Pero sí puede darse, y se da, una ley o una regla para ir ejecutando las operaciones «indefinidamente». El objeto de la matemática serían, pues, los conjuntos finitos como término de operaciones ejecutadas sobre ellos. El intuicionismo es radicalmente finitismo. [...] Lo esencial está en que el intuicionismo pretende oponerse al axiomatismo formalista oponiendo a las definiciones axiomáticas las operaciones ejecutada. Es en el fondo la puesta en marcha de aquella idea de Kronecker según la cual Dios creó el número y lo demás lo han creado los hombres. El número entero sería un dato de la intuición, y por consiguiente construir se reduciría en última instancia a contar lo dado. No basta con definir.

Pero esta conceptualización no es sostenible porque ni los conjuntos – por finitos que sean – son formalmente intuitivos, ni las operaciones ejecutadas sobre ellos constituyen lo radical de lo que yo entiendo por construcción matemática.

En primer lugar, el conjunto finito de Brouwer no es intuitivo. La intuición es la «visión» de algo dado inmediatamente, directamente, unitariamente. En la intuición tengo la diversidad cualitativa y cuantitativa de lo dado, pero nunca tengo un conjunto. No hay estrictos conjuntos intuitivos. Porque para tener un conjunto necesito considerar aisladamente, por así decirlo, los momentos de la diversidad intuitiva como «elementos». Sólo entonces su unidad constituye un conjunto. Conjunto matemático es siempre y sólo conjunto de elementos. Pero entonces es claro que ningún conjunto, ni tan siquiera siendo finito, es intuitivo. Porque la intuición no da sino «diversidad de momentos», pero jamás nos da «conjunto de elementos». Para tener un conjunto es necesario un acto ulterior de intelección que haga de los momentos elementos. Hace falta pues una construcción. El llamado conjunto finito, presuntamente dado en la intuición, no es sino la aplicación del conjunto ya construido intelectivamente a la diversidad de lo dado. Esta aplicación es justo una postulación: se postula que lo dado se resuelve en un conjunto. Por consiguiente, en estricto rigor no puede llamarse intuicionismo a la matemática de Brouwer. El conjunto de Brouwer no es intuitivo; es el contenido objetivo de un concepto de conjunto que se «aplica» a lo intuitivo.

En segundo lugar, la construcción misma del conjunto no es radicalmente un sistema de operaciones ejecutadas. Digo «radicalmente», porque la ejecución de operaciones no es lo primario de lo que yo he llamado construcción. El conjunto finito es contenido de conceptos objetivos [...] Finitos o no, los conjuntos de que se ocupa la matemática de Brouwer y las operaciones sobre ellos ejecutadas son conjuntos y operaciones conceptivas. Y por esto no son suficientes, a mi modo de ver, para fundamentar lo matemático: la matemática no trata de «conceptos objetivos» sino de «cosas que son así». Lo que yo entiendo por construcción es algo distinto. Ciertamente no es una construcción de conceptos objetivos por mera definición, pero tampoco es una serie de operaciones ejecutadas en el sentido de Brouwer, porque estas operaciones de Brouwer son operaciones sobre conceptos objetivos. Y en este punto la matemática de Brouwer no difiere de la de Gödel y Cohen. [...] El conjunto finito de Brouwer no sólo no es intuitivo, sino que es el resultado de una doble postulación: el postulado de que a lo intuitivamente dado es aplicable un conjunto de elementos, y el postulado de conferir a «la» realidad el contenido del concepto objetivo (operacionalmente construido) de conjunto. [...] En definitiva, estar construido: 1.° no es estar definido en el sentido de Gödel y Cohen, y 2.° no estar ejecutado en el sentido de Brouwer.”

[Zubiri, Xavier: Inteligencia y logos. Madrid: Alianza Editorial, 1982, pp. 139-143]

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