MENGENLEHRE Teoría de conjuntos

MENGENLEHRE

Teoría de conjuntos

(comp.) Justo Fernández López

Diccionario de lingüística español y alemán

www.hispanoteca.eu

„Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.“

Mengenlehre ist eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte, die eine Menge ausmachen, nennt man Elemente. Die Beziehungen zwischen einem Element einer Menge und dieser Menge wird ausgedrückt: x = Î M (x ist Element der Menge M). Mengen können in aufzählender und beschreibender Form dargestellt werden 1/ M = {Januar, Februar, ... Dezember} 2/ M = {x/x ist ein Monatsname} Gelesen: ‚M ist die Menge aller x, für die gilt: x ist ein Monatsname’. Oder in anderer Notation: 3/ Januar Î (Januar, Februar, ... Dezember).

Bemerkung: Rechts vom schrägen Strich steht die Aussageform. Durch Substitution eines Elements entsteht eine Aussage. Das x der Aussageform wird Variable oder Platzhalter genannt. Mengen, die keine Elemente enthalten, sind ‚leere Mengen’ Ø oder { }. Zu den für die Linguistik wichtigsten Beziehungen zwischen Mengen gehören:

Die Mengenlehre ist eng mit der Aussagenlogik verknüpft. Daher werden aussagenlogische Probleme oft durch mengentheoretische Operationen dargestellt. (Venn-Diagramm / Euler-Diagramm).“ [Heupel, C., S. 142-143]

Die Mengenlehre entstand in ihren Grundzügen gegen Ende des letzten Jahrhunderts; über weite Strecken ist sie das Werk eines Einzelnen: Georg Cantor. Und wie sonst nur selten, lässt sich ihr Auftreten in der Mathematik auf ein Datum festlegen, nämlich auf den 29. November 1873, als Cantor in einem Brief an R. Dedekind das Problem aufwirft - und kurze Zeit später auch löst - ob die Menge der natürlichen Zahlen eineindeutig auf die Menge der reellen Zahlen abgebildet werden kann. Einen Beweis veröffentlicht er in seiner Arbeit „Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen“ die 1874 in Crelles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 77, S.258-262, erscheint.

Seither hat sie sich die Mengenlehre als Fundament mathematischen Arbeitens etabliert, denn

Nach wie vor ist darüber hinaus die Mengenlehre aktuelles Forschungsgebiet der Mathematik.

Die Mengenlehre beschreibt die gesamte Mathematik. Wir abstrahieren und stellen uns ein Universum vor, in dem alle Objekte der Mathematik (und für das eine oder andere Beispiel auch einmal exotischere Dinge) als Punkte symbolisch dargestellt sind.

Wenn wir eine Menge M herstellen, so wählen wir unter den Objekten des Universums einige aus, die wir dann die Elemente von M nennen. [...] In unserem anschaulichen Universum ist eine Menge M gebildet worden, indem diejenigen Objekte ausgewählt sind, die innerhalb der eingezeichneten Linie liegen. [...]

Da in unserem Universum alle Objekte der Mathematik liegen, gehören auch die Mengen selbst (als Punkte!) dazu. Es kann daher durchaus vorkommen, dass eine Menge Element einer anderen Menge ist. ... schließt dabei den Extremfall aus, dass eine Menge sich selbst als Element enthält. Dies hat für das Universum U eine interessante Konsequenz: Wäre U eine Menge, so müsste sie als Objekt der Mathematik in U liegen. [...] Das Universum selbst ist nicht Gegenstand der Mengenlehre!“

Kurzgesagt: Fasst man ein paar verschiedene Dinge zusammen, so hat man eine Menge. Ein Beispiel ist die Menge der Erdteile: Europa, Asien, Afrika, Amerika, Australien, Antarktis.

Die „Dinge“ oder „Objekte“, also in diesem Fall die Erdteile, nennt man die „Elemente“ der Menge. Man schreibt die Elemente in geschweifte Klammern, und kürzt die Menge mit einem sinnvollen Buchstaben ab (hier E wie Erdteile): E = {Europa, Asien, Afrika, Amerika, Australien, Antarktis}

Gelesen wird dies so: Die Menge E der Erdteile besteht aus den Elementen Europa, Asien, Afrika, Amerika, Australien, Antarktis.

Mathematiker benutzen nicht diese Definition, da sie irgendwann zu Widersprüchen führt. Stattdessen führen sie den Mengenbegriff axiomatisch ein. Für uns Informatiker und Ingenieure reicht diese Definition jedoch vollkommen aus.“

Es gibt aber noch andere Darstellungsformen für Mengen. Eine davon ist das Venn-Diagramm, das manchmal auch Euler-Venn-Diagramm genannt.

Man kann eine Menge darstellen, indem man die Elemente der Menge in einen Kreis, ein Rechteck o. ä. schreibt. Das Beispiel zeigt das Venn-Diagramm der Menge M={1, 2, 3}:

Puzzle: Durchschnitt und Vereinigung. Versuchen Sie, mit der Maus die symbolischen Graphiken den Ausdrücken zuzuordnen! Der Button „Zurücksetzen“ stellt die Ausgangsposition mit zufällig plazierten Kästchen wieder her. Die Auswertung durch ein Punktesystem erfolgt unterhalb des Puzzles:

Der entscheidende Schritt über die elementare Logik hinaus besteht in der Einführung von Mengen.

Unter Menge versteht man dabei den Umfang eines Begriffs; die Menge der Menschen ist der Umfang des Begriffs Mensch, die Menge der Primzahlen der Umfang des Begriffs Primzahl usw. Allgemein gibt es zu jedem einstelligen Begriff eine Menge, die genau diejenigen Objekte enthält, die unter diesen Begriff fallen. Man nennt diese Objekte Elemente der Menge. Dieses Prinzip nennt man auch das Komprehensionsprinzip.

Da Mengen Objekte sind, kann man dieses Prinzip in der Sprache der Prädikatenlogik formulieren.

Ferner sind zwei Mengen als Begriffsumfänge identisch, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Das ist das Extensionalitätsprinzip. Aus dem Komprehensions- und dem Extensionalitätsprinzip folgt das Abstraktionsprinzip.

In entsprechender Weise könnte man auch Umfänge von mehrstelligen Begriffen, so genannten Relationen, einführen, die mehrgliedrigen Folgen als Elemente enthalten. [...]

Und man erhält, indem man zu den prädikatenlogischen Axiomen A1 bis A7 das Komprehensions- und das Extensionalitätsprinzip als Axiome A8 und A9 hinzunimmt, ein Axiomensystem der Mengenlehre.

Dieses mengentheoretische System nennt man auch naive Mengenlehre. Die Mengenlehre bildet die fundamentale mathematische Theorie, auf der alle anderen mathematischen Disziplinen aufbauen. Deshalb entstand mit der Formulierung der Mengenlehre innerhalb der Logik durch Gottlob Frege das Programm des Logizismus: Alle mathematischen Begriffe sollten durch logische Begriffe definiert werden, und alle mathematischen Theoreme sollten aufgrund dieser Definition in logische Theoreme übergeführt werden. Die Mathematik sollte also in der Logik aufgehen. [...] Man kann also im Rahmen der naiven Mengenlehre die Arithmetik logisch begründen. Da in der Mathematik die ganzen, die rationalen, die reellen und komplexen Zahlen auf der Grundlage der natürlichen Zahlen definiert werden, so wird hier schon deutlich, dass das Programm des Logizismus ein durchaus realistisches Programm war.

Um die Jahrhundertwende stellte sich jedoch heraus, dass die naive Mengenlehre auf Vorstellungen beruht, die zu Widersprüchen führen.

Die ersten Widersprüche der Mengenlehre entdeckte Cantor selbst. Die einfachste der so genannten logischen Antinomien ist aber von Bertrand Russell 1902 konstruiert worden:

Bach dem Komprehensionsprinzip gibt es zu jeder Eigenschaft von Mengen eine Menge, die den Umfang dieser Eigenschaft darstellt. Betrachten wir nun die Eigenschaft von Mengen, sich selbst nicht zu enthalten, so gibt es eine Menge der Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Ist diese Menge in sich selbst enthalten, so ist sie eine Menge, die sich nicht selbst enthält. Die Annahme, dass diese Menge sich selbst enthält, führt also zum Widerspruch. Enthält sich die Menge aber nicht selbst, so enthält sie sich selbst. Auch diese Annahme führt also zum Widerspruch. Da nun aber nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten gelten muss, dass die Menge sich selbst enthält oder dass sie sich nicht selbst enthält, erhalten wir einen Widerspruch, da jede der beiden Alternativen zum Widerspruch führt.

Diese Widersprüche erzwingen, dass man das System der naiven Mengenlehre aufgibt und schwächere Prinzipien der Mengenbildung entwickelt.

Ein möglicher Weg besteht darin, dass Komprehensionsprinzip abzuschwächen, so dass nur mehr gewissen Prädikaten Mengen zugeordnet werden. Dieser Weg führt zu den Systemen der axiomatischen Mengenlehre, wie sie zuerst von Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel entwickelt worden sind.

Ein anderer Weg ist zuerst von Bertrand Russell beschritten worden, er führt zur (einfachen) Typenlogik. In der Typentheorie wird das Komprehensions- und das Extensionalitätsprinzip aufrechterhalten, es werden dagegen verschiedene Typen von Objekten unterschieden: Individuen, die keine Mengen sind, Mengen von Individuen, Mengen von Mengen von Individuen usf. Jede Menge enthält nur Objekte eines Typs und ist immer von höherem Typ als ihre Elemente. Entsprechend unterscheiden wir intuitiv zwischen Individuen wie Zahlen; Begriffen, die für Individuen erklärt sind, wie «größer als»; Begriffen, die für solche Begriffe von Individuen erklärt sind, wie «transitiv» usf., und wir wenden nicht Begriffe zugleich auf Individuen und Begriffe an. Da in der Logik aber Begriffe immer nur extensional charakterisiert sind, d.h. als Funktionen, die Objekten Wahrheitswerte zuordnen, können wir diese extensional bestimmten Begriffe auch mit Mengen identifizieren und gelangen so zu einer Typenunterscheidung für Mengen.

Diese Problematik soll zeigen, dass die Logik mit der Prädikatenlogik nicht schon am Enden ist, sondern dass sie hier, was ihre tiefere Problematik, ihre Schwierigkeiten und damit auch ihre Faszination, erst eigentlich beginnt.”

[Kutschera, F. von / Breitkopf, A.: Einführung in die moderne Logik. Freiburg/München: Karl Alber, 1971, S. 150ff.]

En el lenguaje común utilizamos frecuentemente la palabra conjunto y la empleamos siempre que queremos designar una colección de objetos, y hablamos de un conjunto de jugadores, de un conjunto de libros o de un conjunto de ideas. Podemos convenir que el conjunto está constituido por objetos materiales, o por fenómenos o signos reunidos en virtud de una propiedad común.

Según N. Bourbaki un conjunto «está formado por elementos susceptibles de poseer ciertas propiedades y tener, entre ellos o entre elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones».

Cada uno de los elementos que componen un conjunto recibe el nombre de elemento de este conjunto. Si P es el conjunto de los planetas y m es Marte, diremos que m pertenece a P, lo cual simbólicamente se acostumbra a representar por m Î P

La relación establecida entre m y P y en general entre un elemento y el conjunto a que pertenece se llama relación de pertenencia. Diremos que un conjunto está definido cuando, dado un objeto cualquiera, se puede decir si pertenece o no a ese conjunto. [...]

2) Por comprensión: enunciado una propiedad que sea cumplida por todos los elementos del conjunto y sólo por ellos. Esta propiedad se denomina propiedad característica del conjunto.

Existen algunos puntos en que el término conjunto en el lenguaje ordinario puede resultar un poco vago y/o equívoco, mientras el lenguaje matemático es claro y no ambiguo:

1) Los elementos de un conjunto no han de ser necesariamente elementos concretos. Así, entidades abstractas como el número siete, el círculo Polar Ártico y el fonema español /t/ son elementos, respectivamente, de conjuntos de la misma manera que lo pueden ser la dama de Elche o el río Ebro.

2) Existen conjuntos de un solo elemento. El conjunto cuyo único elemento es p se indica {p}. Este conjunto se acostumbra a llamar singletón. Una caja que contiene un sombrero no es lo mismo que un sombrero.

3) Postulamos la existencia de un conjunto que no tiene elementos. Se llama conjunto vacío. Por muchas razones (análogas a las que suscitaron la invención del cero), en particular para poder hablan sin perífrasis del conjunto de los elementos de A que no poseen cierta propiedad sin tener que correr el riego de que este conjunto no exista, por falta de elementos, se admite que hay un conjunto, muy particular, que no contiene ningún elemento. Se le simboliza . Su introducción aporta muchas simplificaciones en matemáticas.

4) Existen conjuntos de infinitos elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números de una circunferencia o el conjunto de frases gramaticales de la lengua española.“

[Serrano, Sebastián: Lógica, lingüística y matemáticas. Madrid: Editorial Anagrama, 1977, pp. 7-10]

“Para el intuicionismo, construir matemáticamente no es lo mismo que definir y construir conceptos. El intuicionismo rechaza la idea de que la matemática se funda en la lógica; una demostración que apela al principio lógico del tertio excluso no es para Brouwer una demostración matemática. La matemática no es un sistema de conceptos y de operaciones definidas. La operación, si ha de ser matemática, ha de ser operación ejecutada, por tanto operación compuesta de pasos finitos. Ciertamente la matemática no se ocupa únicamente de conjuntos finitos, se ocupa por ejemplo de los infinitos decimales que componen un número real. Es verdad que la matemática no puede ejecutar de hecho todas las operaciones necesarias para obtener un número irracional, porque los pasos que habría que dar habrían de ser infinitos. Pero sí puede darse, y se da, una ley o una regla para ir ejecutando las operaciones «indefinidamente». El objeto de la matemática serían, pues, los conjuntos finitos como término de operaciones ejecutadas sobre ellos. El intuicionismo es radicalmente finitismo. [...] Lo esencial está en que el intuicionismo pretende oponerse al axiomatismo formalista oponiendo a las definiciones axiomáticas las operaciones ejecutada. Es en el fondo la puesta en marcha de aquella idea de Kronecker según la cual Dios creó el número y lo demás lo han creado los hombres. El número entero sería un dato de la intuición, y por consiguiente construir se reduciría en última instancia a contar lo dado. No basta con definir.

Pero esta conceptualización no es sostenible porque ni los conjuntos – por finitos que sean – son formalmente intuitivos, ni las operaciones ejecutadas sobre ellos constituyen lo radical de lo que yo entiendo por construcción matemática.

En primer lugar, el conjunto finito de Brouwer no es intuitivo. La intuición es la «visión» de algo dado inmediatamente, directamente, unitariamente. En la intuición tengo la diversidad cualitativa y cuantitativa de lo dado, pero nunca tengo un conjunto. No hay estrictos conjuntos intuitivos. Porque para tener un conjunto necesito considerar aisladamente, por así decirlo, los momentos de la diversidad intuitiva como «elementos». Sólo entonces su unidad constituye un conjunto. Conjunto matemático es siempre y sólo conjunto de elementos. Pero entonces es claro que ningún conjunto, ni tan siquiera siendo finito, es intuitivo. Porque la intuición no da sino «diversidad de momentos», pero jamás nos da «conjunto de elementos». Para tener un conjunto es necesario un acto ulterior de intelección que haga de los momentos elementos. Hace falta pues una construcción. El llamado conjunto finito, presuntamente dado en la intuición, no es sino la aplicación del conjunto ya construido intelectivamente a la diversidad de lo dado. Esta aplicación es justo una postulación: se postula que lo dado se resuelve en un conjunto. Por consiguiente, en estricto rigor no puede llamarse intuicionismo a la matemática de Brouwer. El conjunto de Brouwer no es intuitivo; es el contenido objetivo de un concepto de conjunto que se «aplica» a lo intuitivo.”

[Zubiri, Xavier: Inteligencia y logos. Madrid: Alianza Editorial, 1982, pp. 139-141]

“El conjunto finito de Brouwer no sólo no es intuitivo, sino que es el resultado de una doble postulación: el postulado de que a lo intuitivamente dado es aplicable un conjunto de elementos, y el postulado de conferir a «la» realidad el contenido del concepto objetivo (operacionalmente construido) de conjunto. [...] En definitiva, estar construido: 1.° no es estar definido en el sentido de Gödel y Cohen, y 2.° no estar ejecutado en el sentido de Brouwer.”

[Zubiri, Xavier: Inteligencia y logos. Madrid: Alianza Editorial, 1982, pp. 142-143]

1. Por extensión: enumerando y nombrando cada uno de los elementos. Por ejemplo, el conjunto cuyos elementos son: el creador de la gramática generativa, el número siete, la capital de Francia y la última letra del alfabeto español lo representamos por {Noam Chomsky, 7, París, Z} En el conjunto están representado los objetos, no los nombres. Digamos que al conjunto pertenece el elemento Noam Chomsky, distinto de ‘Noam Chomsky’, nombre del creador de la gramática generativa’. Un conjunto está definido cuando dado un objeto se puede decir si es o no es elemento del conjunto y para saberlo bastará saber si ha sido nombrado o no entre los elementos del conjunto, no el número de veces.

2. Por comprensión: enunciando una propiedad que sea cumplida por todos los elementos del conjunto y sólo por ellos. Estas propiedad se denomina propiedad característica del conjunto. Si P es la propiedad característica de un conjunto C, escribimos: C = {x| x posee la propiedad P}, o sea que C está constituido por todos los elementos x tales que cada x posea la propiedad P.»

[Serrano, Sebastián: Lógica, lingüística y matemáticas. Barcelona: Anagrama, 1977, p. 8]

“La segunda estructura topológica del tiempo no es la continuidad sino la ordenación. Las tres partes – antes, ahora, después – tienen un cierto orden. Efectivamente, aunque no sea temporal sino espacial, en un continuo se puede siempre marcar dos puntos y decir cuál está antes y cuál está después. El continuo, desde este punto de vista, es ordenado. Se puede establecer una cierta estructura de ordenación de las partes. Y entonces, antes y después no significan antes y después en el tiempo; sino antes y después en la ordenación: decimos que un punto está estructuralmente después de otro, o antes que otro, pero no en el tiempo, sino en el sentido del orden. Es primero, es segundo, es tercero ... Lo cual no quiere decir que los puntos se sucedan en el tiempo. Es un concepto meramente ordinal. Esto no significa que el continuo, por ser siempre ordenable, pueda ser nunca «bien ordenado». Ese es un tema de matemáticas.

Durante unas horas fue célebre Zermelo con un célebre teorema suyo: el continuo puede ser bien ordenado. Entendiendo por conjunto bien ordenado aquel en que colocado un elemento se puede decir siempre cuál es el siguiente. Esto contradice el sentido común. En el continuo, por muy próximos que estén dos puntos, siempre hay un punto intermedio: no hay ningún punto que sea «inmediatamente» siguiente. Zermelo pretendió mediante un razonamiento de análisis transfinito que esto podía hacerse. Pero esto no ha tenido fortuna en matemática. Hay, pues, un orden de partes. Y esto del orden de las partes no lo digo por hacer un alarde de erudición matemática – sería absolutamente inconveniente –, sino por lo que inmediatamente sigue.

En tercer lugar – y aquí comienza una diferencia propia del tiempo – no solamente es una ordenación, sino una ordenación tal que en cada momento no existe más que una de esas partes; no existe más que el Presente. El pasado ha dejado de existir; el futuro todavía no existe. No existe más parte que una: el presente. Y cuando la ordenación de los elementos de una magnitud continua es tal que anterioridad y posterioridad en el orden significa que lo uno deja de ser lo que es para ser lo otro, entonces decimos que es un continuo fluente. Es una fluencia. Y la fluencia, contra lo que ha venido diciéndose desde Aristóteles, no es forzosamente un cambio.”

[Zubiri, Xavier: Estructura dinámica de la realidad. Madrid: Alianza Editorial, 1995, p. 285-286]