„Mögliche Welten und Wahrheitsmengen von Propositionen

Dem Begriff Proposition kann mithilfe der Mengenlehre eine formale Deutung gegeben werden. Um das verständlich zu machen, müssen wir zunächst den Begriff mögliche Welt einführen. Der Begriff stammt von Leibniz, der im Übrigen der Ansicht war, dass aufgrund der Güte Gottes unsere Welt die beste aller möglichen Welten war. Eine abweichende Ansicht ist in Voltaire (1759) vertreten.

Die Umgangssprache hat hierfür u.a. die Bezeichnungen „Situation“ oder „Fall“ oder „denkbarer Zustand der Dinge“.

Die Redeweise, dass es verschiedene mögliche Welten gibt, erinnert zugegebenermaßen an Science-fiction, tatsächlich ist das Konzept jedoch relativ einfach. Wir können uns leicht vorstellen, dass die Welt, in der wir leben, anders aussehen könnte als sie es in Wirklichkeit tut, und wir können durchaus sinnvoll davon sprechen, was wäre, wenn die Wirklichkeit anders wäre; ein Beispiel ist der Satz

(1) Wenn es heute morgen nicht geregnet hätte, wären wir aufs Land gefahren.

Wie können also sprechen von verschiedenen „Möglichkeiten dafür, wie die Welt aussehen kann“. Anstelle dieses umständlichen Ausdruckes gebrauchen wir nun das kürzere „mögliche Welt“.

Wir haben oben gesagt, dass eine Proposition das ist, was ein Satz in einer bestimmten Situation über die Welt aussagt. Dies können wir auf eine andere Weise ausdrücken. Angenommen eine bestimmte Proposition, z.B., dass Stalin Hitler bewunderte, ist wahr. Das zu behaupten ist dasselbe wie zu sagen, dass unsere Welt zu einer bestimmten Menge möglicher Welten gehört, nämlich der Menge von Welten, in denen gilt, dass Stalin Hitler bewunderte.

Für jede Proposition können wir also eine Menge von möglichen Welten finden, wo diese Proposition wahr ist. Diese Menge nennen wir die Wahrheitsmenge der betreffenden Proposition. Eine einzelne mögliche Welt lässt sich dementsprechend auffassen als die Menge von Propositionen, die in ihr gültig ist, und die sie beschreibt.“

[Allwood, J. / Andersson, L-G / Dahl, Ö: Logik für Linguisten. Tübingen: Niemeyer (= Romanistische Arbeitshefte), 1973, S. 19]

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„Der Unterschied zwischen den analytischen Wahrheiten, die auf logischer Form beruhen, und solchen, die auf semantischen Relationen beruhen, ist jedoch eher graduell als ein kategorialer Unterschied. In gewissem Maß ist nämlich die Entscheidung darüber, was man an einem Satz der logischen Form und was der Bedeutung der übrigen Bestandteile zuschreibt, willkürlich, je nachdem, wie bestimmte Wörter dem „logischen Vokabular“ zugeteilt werden oder nicht.

Wenn man einen analytisch wahren Satz verneint, erhält man einen Satz, der aufgrund seiner Form oder Bedeutung ein analytisch falscher Satz sein muss, z.B.

Es ist nicht der Fall, dass alle Junggesellen unverheiratet sind.

Analytisch wahre und analytisch falsche Sätze werden unter der Bezeichnung analytische Sätze zusammengefasst. Ihnen ist gemeinsam, dass ihr Wahr- oder Falschsein nicht davon abhängt, wie die Welt aussieht. Ein analytisch wahrer Satz ist wahr in allen möglichen Welten, ein analytisch falscher Satz in allen möglichen Welten falsch. Wir können sagen, dass die Wahrheitsmenge der analytisch wahren Sätze 1 (die Allmenge) ist und die Wahrheitsmenge der analytisch falschen Sätze Ø (die Nullmenge).

Sätze, die nicht analytisch sind, werden synthetisch genannt. Sie sind wahr oder falsch abhängig davon, wie die Welt aussieht – m.a.W. wahr in bestimmten Welten und falsch in anderen. Ein Beispiel für einen synthetischen Satz ist

Gustav II Adolf starb 1632.“

[Allwood, J. / Andersson, L-G / Dahl, Ö: Logik für Linguisten. Tübingen: Niemeyer (= Romanistische Arbeitshefte), 1973, S. 20-21]

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„Die Bedingung dafür, dass ein Schluss gültig ist, ist, dass es keine mögliche Welt gibt, in der die Prämissen wahr und die Konklusion falsch sind. Wie können wir nun kontrollieren, dass ein Schluss wirklich gültig ist, wenn es unendlich viele mögliche Welten gibt? Letzteres Faktum macht es unmöglich, alle Welten zu durchlaufen und sie danach zu überprüfen, ob in ihnen die Prämissen und die Konklusion wahr sind. Es gibt sozusagen «immer wieder neue», zu überprüfende Welten. Das einzig mögliche Ergebnis dieser Suche wäre, dass man die Nicht-Gültigkeit eines Schlusses zeigen könnte, falls man nämlich eine Welt finden würde, in der die Prämissen wahr sind, die Konklusion jedoch falsch. Der Nachweis, dass ein Schluss gültig ist, läßt sich also auf diese Weise nicht führen.

Es gibt jedoch andere Methoden, zu untersuchen, ob ein Schluss gültig ist oder nicht. Ob ein Schluss gültig ist, beruht auf seiner Struktur, nicht auf dem faktischen Aussehen der möglichen Welten. Durch Untersuchung der Struktur eines Schlusses können wir also entscheiden, ob er gilt oder nicht.”

[Allwood, J. / Andersson, L-G / Dahl, Ö: Logik für Linguisten. Tübingen: Niemeyer (= Romanistische Arbeitshefte), 1973, S. 71-72]

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„Modallogik

Eine semantische Beschränkung der prädikatenlogischen Sprache ist, dass man nicht über mehr als eine Welt auf einmal sprechen kann. In natürlichen Sprachen können wir jedoch mit Leichtigkeit über Beziehungen zwischen verschiedenen möglichen Welten sprechen.

(1)   Es ist möglich, dass es morgen Gewitter gibt.

Wer diesen Satz äußert, weiß nicht mit Sicherheit, welches Wetter es morgen gibt, er kann sich mehrere Möglichkeiten vorstellen. Die Welt, so wie sie morge aussieht, ist also für ihn eine von mehreren möglichen Welten. Was er sagt, wenn er (1) äußert, ist, dass mindestens eine dieser möglichen Welten derart ist, dass es in ihr regnet. Entsprechend verhält es sich mit dem folgenden Satz:

(2)  Es ist sicher, dass es morgen Gewitter gibt.

(3)  sagt aus, dass es, wie auch die Welt morgen aussehen wird, auf jeden Fall Gewitter gibt. Mit anderen Worten, in allen möglichen Welten gibt es morgen Gewitter.

Wir können also möglich und sicher folgendermaßen umschreiben:

(4)  möglich = wahr in mindestens einer möglichen Welt

sicher = wahr in allen möglichen Welten

Die möglichen Welten, von denen wir hier sprachen, waren etwa die Welten, die wir uns anhand unserer Kenntnisse von den bestehenden Verhältnissen vorstellen können. Der Logiker ist darüber hinaus an allen Welten interessiert, die logisch möglich sind, d.h. solchen, die man ohne logischen Widerspruch beschreiben kann. Es ist ziemlich klar, dass viele logisch mögliche Welten sozusagen in der Praxis nicht möglich sind; z.B. ist es logisch möglich, dass das, was Sie jetzt lesen, nicht ein Logikkompendium, sondern das sozialdemokratische Parteiprogramm ist, aber «in der Praxis» sind Sie natürlich davon überzeugt, dass das nicht der Fall ist.

Was in allen logisch möglichen Welten wahr ist, wird nicht mit «sicher», sondern meist als «notwendig» bezeichnet. Die Logik, die die Eigenschaften von Begriffen wie «möglich» und «notwendig» untersucht, heißt Modallogik.

Diesen Begriffen entsprechen im Deutschen Ausdrücke wie es ist möglich, daß, gefolgt von einem Nebensatz. Das Gleiche kann auch durch ein modales Hilfsverb ausgedrückt werden, vgl.

(5)  Es kann morgen Gewitter geben.

oder durch Satzadverbien wie vielleicht.

Die Logiker verwenden einen Formalismus, der syntaktisch den natürlichen Sprachen ziemlich ähnlich ist. Man führt zwei neue logische Konstanten M und N ein, die man vor einem beliebigen Satz setzen kann, um einen neuen Satz zu erhalten. Mp ist dann zu lesen «es ist möglich, dass p» und Np «es ist notwendig, dass p» (oder auch: «es ist sicher, dass p»). M und N werden modale Operatoren genannt.”

[Allwood, J. / Andersson, L-G / Dahl, Ö: Logik für Linguisten. Tübingen: Niemeyer (= Romanistische Arbeitshefte), 1973, S. 91-92]

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„Zu wissen, was ein Satz bedeutet, heißt, dass man sagen kann, ob er in einer bestimmten möglichen Welt wahr oder falsch ist. Beispielsweise kann jemand, der des Deutschen mächtig ist, sagen, ob der Satz Es regnet in einer möglichen Welt wahr ist, wenn der Zugang dazu hat, wie diese Welt aussieht. Von diesen Prinzipien geht die logische Semantik aus. Das ist jedoch noch nicht genug – wie müssen auch wissen, wie die einzelnen Terme der Sprache zu den Dingen der Welt in Beziehung stehen. Um zu wissen, ob der Satz Peterchen ist rothaarig in einer bestimmten Welt wahr ist, müssen wir wissen, auf welches Individuum Peterchen referiert. Wenn wir eine Sprache aufgebaut haben und festlegen, wie jeder Ausdruck der Sprache zu den Dingen einer bestimmten Welt in Beziehung gesetzt werden soll, erhalten wir eine Interpretation unserer Sprache. Der den Linguisten interessierende Gedanke ist nun, ob und in welchem Umfang eine Interpretation für natürliche Sprachen möglich ist, wobei sich zwei Wege andeuten: Entweder man interpretiert natürliche Sprache direkt oder man übersetzt sie in eine formale Sprache, die dann ihrerseits interpretiert wird. Beide Wege sind in den Arbeiten von Richard Montague eingeschlagen worden, der erste in Montague (1970), der zweite in Montague (1972) und (1973). [...]

Sehr vereinfacht lässt sich sagen, dass eine Interpretation die Sprache zur aktualen oder einer vorstellbaren Welt in Beziehung setzt, indem sie die Extensionen der Ausdrücke der Sprache festlegt, also die Objekte aus der betreffenden Welt, die die Ausdrücke bezeichnen.“

[Allwood, J. / Andersson, L-G / Dahl, Ö: Logik für Linguisten. Tübingen: Niemeyer (= Romanistische Arbeitshefte), 1973, S. 67-68]

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